Тут смешиваются понятий. С современной точки зрения это разные аспекты понятия "форма государства", которая содержит в себе: форму правления, политический режим, форму государственного устройства.

Вот отрывочек из педивикии:
Форма правления — система организации высших органов государственной власти, порядок их формирования, компетенция, взаимоотношение между собой и с населением (старейший элемент: учёными он стал выделяться ещё в Древней Греции);
Форма государственного устройства — система территориальной организации государства (активно изучается начиная с XVII—XVIII вв.);
Государственный (политический) режим — методы осуществления государственной власти (наукой стал выделяться только в начале XX в.).

Соответственно, республика относится к форме правления, а демократия к государственному режиму.
То есть понятия несравнимые. По крайней мере, как их понимают сейчас.